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$\scriptstyle {\begin{aligned}&+\varepsilon \iint dy'dz'\left[\left(3{\frac {du'}{dx'}}+{\frac {dv'}{dy'}}+{\frac {dw'}{dz'}}\right)\delta u'+\left({\frac {du'}{dy'}}+{\frac {dv'}{dx'}}\right)\delta v'+\left({\frac {du'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dx'}}\right)\delta w'\right]\\&+\varepsilon \iint dx'dz'\left[\left({\frac {du'}{dy'}}+{\frac {dv'}{dx'}}\right)\delta u'+\left({\frac {du'}{dx'}}+3{\frac {dv'}{dy'}}+{\frac {dw'}{dz'}}\right)\delta v'+\left({\frac {dv'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dy'}}\right)\delta w'\right]\\&+\varepsilon \iint dx'dy'\left[\left({\frac {du'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dx'}}\right)\delta u'+\left({\frac {dv'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dy'}}\right)\delta v'+\left({\frac {du'}{dx'}}+{\frac {dv'}{dy'}}+3{\frac {dw'}{dz'}}\right)\delta w'\right]\\&-\varepsilon \iint dy''dz''\left[\left(3{\frac {du''}{dx''}}+{\frac {dv''}{dy''}}+{\frac {dw''}{dz''}}\right)\delta u''+\left({\frac {du''}{dy''}}+{\frac {dv''}{dx''}}\right)\delta v''+\left({\frac {du''}{dz''}}+{\frac {dw''}{dx''}}\right)\delta w''\right]\\&-\varepsilon \iint dx''dz''\left[\left({\frac {du''}{dy''}}+{\frac {dv''}{dx''}}\right)\delta u''+\left({\frac {du''}{dx''}}+3{\frac {dv''}{dy''}}+{\frac {dw''}{dy''}}\right)\delta v''+\left({\frac {dv''}{dz''}}+{\frac {dw''}{dy''}}\right)\delta w''\right]\\&-\varepsilon \iint dx''dy''\left[\left({\frac {du''}{dz''}}+{\frac {dw''}{dw''}}\right)\delta u''+\left({\frac {dv''}{dz''}}+{\frac {dw''}{dy''}}\right)\delta v''+\left({\frac {du''}{dx''}}+{\frac {dv''}{dy''}}+3{\frac {dw''}{dz''}}\right)\delta w''\right]\end{aligned}}$

en marquant par un trait les quantités qui se rapportent à la première limite des intégrales, et par deux traits celles qui se rapportent à la seconde limite. Nous remarquerons d’abord que l’équation de continuité

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0,$

à laquelle les valeurs de $u,v,w,$ doivent satisfaire dans toute l’étendue du fluide, donne, en la différentiant successivement par rapport à $x$, à $y$ et à $z$,

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+{\frac {d^{2}w}{dxdz}}=0,\\&{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dydz}}=0,\\&{\frac {d^{2}u}{dxdz}}+{\frac {d^{2}v}{dydz}}+{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}=0\;\end{aligned}}$

D’après ces relations, l’expression précédente se réduit à