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MÉMOIRE SUR LES LOIS

même distance de l’axe ont des températures égales, permet d’employer ici la solution exposée dans le Chapitre vi de la Théorie de la chaleur.

Pour trouver d’abord une valeur particulière de $u$ qui satisfasse aux équations précédentes, nous supposerons donc $u=s.e^{-{\tfrac {mt}{\rho }}},$ $m$ étant un nombre quelconque, et $s$ une fonction de $r$. En substituant dans l’équation indéfinie, où nous faisons pour le moment abstraction du terme constant ${\tfrac {\rho g\zeta }{\alpha }},$ il viendra

${\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,$

équation dont dépend la fonction $s$. On satisfait à cette équation au moyen de la série

$s=1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {r^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {r^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {r^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {m^{4}}{\varepsilon ^{4}}}{\frac {r^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\textrm {etc.}},$

dont la somme est donnée par l’intégrale définie

$s={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dq.\cos .\left(r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}\sin .q\right).$

Si maintenant on substitue la valeur de $u$ dans l’équation déterminée ${\tfrac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}u+{\frac {du}{dr}}=0,$ et que l’on fasse $r=R,$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {E} }{\varepsilon }}\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {R^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {R^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {R^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {m^{4}}{\varepsilon ^{4}}}{\frac {R^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\textrm {etc.}}\right)=\\{\frac {2m}{\varepsilon }}{\frac {R}{2^{2}}}-{\frac {4m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {R^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {R^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\frac {8m^{5}}{\varepsilon ^{5}}}{\frac {R^{7}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}+{\textrm {etc.}}\end{aligned}}$

ou bien