et
étant des quantités indépendantes de
et
En prenant
et
pour
et
et des valeurs convenables pour les angles
et
l’intégrale relative à
et
comprise dans la première équation (m), se composera de parties telles que :
![{\displaystyle \varphi (k,k)-\varphi (k',k'),\qquad \varphi (k,k')-\varphi (k',k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b1bc7e7ec22b7c1983dc455bc12b8893fce436)
et celle que renferme la seconde équation (m), de parties telles que :
![{\displaystyle \varphi '(k,k)-\varphi '(k',k'),\qquad \varphi '(k,k')-\varphi '(k',k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4f90b9b80418ecd0e96a517ac5536a6bff0486)
Faisons d’abord
![{\displaystyle u+{\frac {1}{2}}(\omega +\omega ')=u',\qquad du=du'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53760fe46f541fa30ab3b8d6707f0752777cfd7)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos .(u+\omega )&=\cos .u'\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')-\sin .u'\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '),\\\cos .(u+\omega ')&=\cos .u'\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')+\sin .u'\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a8b0b926b204ce749a5aa05b02d03a337e46de)
et les limites relatives à
seront toujours
et
Soit ensuite
![{\displaystyle r\sin .u'=y,\qquad r\cos .u'=y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209b8283716582dbbeeb347fcc2f1f354f601ac1)
et, pour abréger,
![{\displaystyle l\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')=\alpha ,\qquad l\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')=\alpha '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8fc0beb76740be417ec79a34494edc5c6f3d2c)
nous aurons en même temps
![{\displaystyle r\,dr\,du'=dy\,dy'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db81b0e1bf6b4d150f0fb4f59144efcd80f95b17)
les limites relatives aux nouvelles variables
et
seront
et il en résultera