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$k,k',l,\omega$ et $\omega '$ étant des quantités indépendantes de $r$ et $u.$ En prenant $h-b$ et $h+b$ pour $k$ et $k',$ et des valeurs convenables pour les angles $\omega$ et $\omega ',$ l’intégrale relative à $r$ et $u$ comprise dans la première équation (m), se composera de parties telles que :

$\varphi (k,k)-\varphi (k',k'),\qquad \varphi (k,k')-\varphi (k',k),$

et celle que renferme la seconde équation (m), de parties telles que :

$\varphi '(k,k)-\varphi '(k',k'),\qquad \varphi '(k,k')-\varphi '(k',k).$

Faisons d’abord

$u+{\frac {1}{2}}(\omega +\omega ')=u',\qquad du=du'\,;$

nous aurons

${\begin{aligned}\cos .(u+\omega )&=\cos .u'\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')-\sin .u'\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '),\\\cos .(u+\omega ')&=\cos .u'\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')+\sin .u'\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\,;\end{aligned}}$

et les limites relatives à $u'$ seront toujours $u'=0$ et $u'=2\pi .$ Soit ensuite

$r\sin .u'=y,\qquad r\cos .u'=y',$

et, pour abréger,

$l\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')=\alpha ,\qquad l\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')=\alpha '\,;$

nous aurons en même temps

$r\,dr\,du'=dy\,dy'\,;$

les limites relatives aux nouvelles variables $y$ et $y'$ seront $\pm \infty ,$ et il en résultera