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Par conséquent, l’aiguille étant en mouvement, et la plaque tournant avec une vitesse $n,$ cette équation deviendra

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}=-{\frac {\pi ^{2}}{\theta ^{2}}}\left[\sin .\psi -{\frac {\sin .\delta '}{n'}}\left(n-{\frac {d\psi }{dt}}\right)\right].$

(p)

Soit $\delta$ la déviation de l’aiguille dans sa position d’équilibre, lorsque la vitesse de la plaque est $n\,;$ supposons qu’on ait écarté l’aiguille un tant soit peu de cette position, et qu’au bout du temps $t,$ on ait

$\psi =\delta +\varepsilon ,$

$\varepsilon$ étant une variable très-petite dont nous ne conserverons que la première puissance en observant, en outre, que l’équation (p) doit subsister quand $\varepsilon =0,$ nous aurons

${\frac {d^{2}\varepsilon }{dt^{2}}}+{\frac {\pi ^{2}\sin .\delta '}{\theta ^{2}n'}}{\frac {d\varepsilon }{dt}}+{\frac {\pi ^{2}\cos .\delta }{\theta ^{2}}}\varepsilon =0.$

Si l’on fait, pour abréger,

$\theta '={\frac {\theta }{\sqrt {\cos .\delta -{\frac {\pi ^{2}\sin .^{2}\delta '}{4n'^{2}\theta ^{2}}}}}},$

et que l’on représente par $c$ et $c'$ deux constantes arbitraires, l’intégrale complète de cette équation linéaire, sera

$\varepsilon =e^{-{\frac {\pi ^{2}\sin .\delta '}{2\theta ^{2}n'}}t}\left(c\cos .{\frac {\pi t}{\theta '}}+c'\sin .{\frac {\pi t}{\theta '}}\right)\,;$

$e$ étant la base des logarithmes népériens.

Pour déterminer ces constantes, nous supposerons qu’on ait $\varepsilon =\alpha ,$ ${\frac {d\varepsilon }{dt}}=0,$ quand $t=0\,;$ la valeur de $\varepsilon$ un instant