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aurons

$\mathrm {U=V} =-\mu 'f(\gamma -x,r,\alpha ,\cos .v).$

Ce sont ces valeurs égales de $\mathrm {U}$ et de $\mathrm {V}$ qu’il faudra substituer dans l’expression de $\mathrm {Q}$ donnée par l’équation (k). Les différences partielles de cette quantité prises par rapport aux coordonnées $\gamma ,\alpha ,\beta ,$ introduites par la substitution de $\mathrm {U} ,$ feront connaître les composantes de l’action de la plaque sur le pôle nord ; mais nous supposerons que le plan dans lequel l’aiguille peut tourner, soit vertical et passe par le centre de rotation de la plaque la force dépendante de la différence partielle de $\mathrm {Q}$ relative à $\beta ,$ étant perpendiculaire à ce plan, sera détruite, et nous serons dispensés d’y avoir égard.

Pendant le mouvement de l’aiguille, l’angle $\beta$ restera constant et représentera l’azimuth de son plan de rotation, compté du méridien magnétique, et du sud au nord. Les deux autres coordonnées $\alpha$ et $\gamma$ du pôle nord, varieront avec le temps ; et si nous désignons par $h$ l’ordonnée verticale du point de suspension de l’aiguille, par $h'$ sa distance à l’axe des $x,$ par $l'$ la distance du pôle nord à ce point, et par $\eta$ l’angle compris, au bout du temps $t,$ entre la partie de l’aiguille qui aboutit à ce pôle et la perpendiculaire abaissée du point de suspension sur la plaque, nous aurons

$\gamma =h-l'\cos .\eta ,\qquad \alpha =h'-l'\sin .\eta \,;$

ce qui suppose que l’on regarde l’angle $\eta$ comme positif ou comme négatif, selon que le pôle nord de l’aiguille, comparé à son point de suspension, se trouve plus rapproché ou plus éloigné de l’axe des $x.$

Afin de n’avoir pas à considérer l’action de la pesanteur,