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nous supposerons enfin que l’axe de rotation de l’aiguille passe par son centre de gravité, qui sera de plus également éloigné de ses deux pôles.

(45) Pour former d’après ces données l’équation du mouvement de l’aiguille, désignons par $\Omega$ le moment rapporté à son axe de rotation, de l’action de la plaque sur son pôle nord ; par $\lambda '^{2}$ le moment d’inertie de l’aiguille relatif au même axe ; par $m$ et $m'$ deux constantes positives, telles que $m\mu '$ et $m'\mu '$ soient, abstraction faite du signe, les composantes horizontale et verticale de l’action de la terre sur chacun des pôles de l’aiguille : l’équation demandée sera

$\lambda '^{2}{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-2l'\mu '(m'\sin .\eta -m\cos .\beta \cos .\eta )+\Omega .$

Soit encore $i$ la valeur de $\eta$ relative à la position d’équilibre de l’aiguille, soumise à la seule action de la terre, c’est-à-dire, le complément de l’inclinaison magnétique qui répond à l’azimut $\beta ,$ dans le lieu et à l’instant de l’observation ; et soit $\theta '$ la durée correspondante de ses petites oscillations. Nous aurons

$m'\sin .i-m\cos .\beta \cos .i=0,$

$2l'\mu '(m'\cos .i+m\cos .\beta \sin .i)={\frac {\pi ^{2}\lambda '^{2}}{\theta '^{2}}}\,;$

d’où l’on tire

$2l'\mu 'm'={\frac {\pi ^{2}\lambda '^{2}\cos .i}{\theta '^{2}}},\qquad 2l'\mu 'm\cos .\beta ={\frac {\pi ^{2}\lambda '^{2}\sin .i}{\theta '^{2}}}\,;$

ce qui change l’équation précédente en celle-ci :

${\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-{\frac {\pi ^{2}}{\theta '^{2}}}\sin .(\eta -i)+{\frac {\Omega }{\lambda '^{2}}}.$

(q)