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différentiation relative à $t,$ et prendre pour les fonctions qu’elles renferment ces différentes valeurs :

$\operatorname {F} \ t=-\mu '(\gamma -b)f^{3}(\gamma -b,r,\alpha ,\cos .v)-\mu '(\gamma +b)f^{3}(\gamma +b,r,\alpha ,\cos .v),$

$\operatorname {F} 't=-\mu '(\gamma -b)f^{3}(\gamma -b,r,\alpha ,\cos .v)+\mu '(\gamma +b)f^{3}(\gamma +b,r,\alpha ,\cos .v),$

${\frac {d\mathrm {U} _{1}}{d\alpha }}=\mu '(\alpha '-r\cos .v')f^{3}(\gamma '-b,r,\alpha ',\cos .v'),$

${\frac {d\mathrm {U} _{2}}{d\alpha }}=\mu '(\alpha '-r\cos .v')f^{3}(\gamma '+b,r,\alpha ',\cos .v')\,;$

$\alpha ',\gamma ',v'$ étant les valeurs de $\alpha ,\gamma ,v$ qui répondent à $t=t'.$

Le calcul des intégrales relatives à $r$ et $u$ sera différent selon que l’aiguille se mouvra ou qu’elle sera en repos. Nous supposerons d’abord que l’action de la plaque et de la terre se fassent équilibre, et que l’aiguille soit stationnaire. Les coordonnées $\alpha$ et $\gamma$ de son pôle nord seront alors indépendantes du temps ; on aura donc $\gamma '=\gamma ,$ $\alpha '=\alpha \,;$ et, dans ce cas, la valeur de ${\frac {d\mathrm {Q} }{d\gamma }},$ donnée par l’équation (r), s’obtiendra par le même calcul que celle de la quantité $\mathrm {P}$ du n^o 36. On trouvera de cette manière

${\frac {d\mathrm {Q} }{d\gamma }}={\frac {3\mu '^{2}bp}{4}}{\frac {d^{2}.}{dtd\gamma }}\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {n}{2}}(t-t'-gz)\right)^{\frac {3}{2}}}}\right.$

$\left.+{\frac {1}{\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {n}{2}}(t-t'-gz)\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\gamma e^{-z}dz\,;$

expression qu’il faudra développer suivant les puissances de $g$ et $g',$ que l’on remplacera ensuite par les quantités $g_{1},g_{2},$ etc., $g'_{1},g'_{2},$ etc., du n^o 31 ; et à cause de $t'=t,$ après la différentiation relative à $t,$ il en résultera une série ordonnée suivant les puissances paires de $n,$ et commençant par son