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mais $l'$ étant, en général, très-grand par rapport à $h_{1},$ on pourra réduire à l’unité le facteur compris entre les parenthèses. D’ailleurs on a (n^o 45).

$\theta '={\frac {\pi \lambda '}{\sqrt {2m\mu ^{2}l^{2}}}}.{\sqrt {\frac {\sin .i}{\cos .\beta }}}=\theta {\sqrt[{4}]{\frac {\sin .^{2}j}{\sin .^{2}j\cos .^{2}\beta +\cos .^{2}j}}}\,;$

et de ces différentes formules, on conclura

${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{1}}}={\sqrt[{4}]{\frac {\sin .^{2}j}{\sin .^{2}j\cos .^{2}\beta +\cos .^{2}j}}}{\frac {\int _{-a}^{a}h_{1}^{4}\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi }{\int _{-a}^{a}{\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi }}.$

Les intégrales contenues dans cette expression pourront toujours se calculer aussi exactement qu’on voudra. Il serait intéressant de comparer le résultat de ce calcul, au rapport de $\varepsilon$ à $\varepsilon _{1}$ donné par l’observation. Si l’amplitude des oscillations est très-petite, le facteur $\varphi$ pourra être regardé comme constant, et l’on aura à très-peu près

$h_{1}^{4}\varphi ={\frac {1}{2}}\cos .^{2}i+\sin .^{2}i={\frac {{\frac {1}{2}}+\cos .^{2}\beta \sin .^{2}j}{\sin .^{2}j\cos .^{2}\beta +\cos .^{2}j}}\,;$

d’où il résultera

${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{1}}}={\frac {\left(1+2\cos .^{2}\beta \sin .^{2}j\right){\sqrt {\sin .j}}}{2\left(\sin .^{2}j\cos .^{2}\beta +\cos .^{2}j\right)^{\frac {5}{2}}}}\,;$

valeur qui ne variera plus, dans un même lieu, qu’avec l’azimut de l’aiguille d’inclinaison. Si elle est située successivement dans le plan du méridien magnétique et dans un plan perpendiculaire, et qu’on prenne, comme à Paris,