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dra ${\frac {2\pi k}{3}}$ pour $a.$ Si donc on fait

$\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right)=\operatorname {F} ''t,$

on en conclura, comme dans le n^o 31, qu’après un temps très-court, la valeur de $\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)$ sera exprimnée par la formule :

$\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)={\frac {3p}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {d\operatorname {F} ''(t-g''z)}{dt}}e^{-z}dz,$

pourvu qu’on la développe suivant les puissances de $g'',$ que l’on remplace ensuite leurs exposants par des indices inférieurs, et qu’on prenne pour $g''_{1},g''_{2},g''_{3},$ etc., les valeurs données par ces équations :

${\begin{aligned}&p_{1}-{\frac {1}{2}}p^{2}=pg''_{1},\\&p_{2}-p_{1}p+{\frac {1}{4}}p^{3}=pg''_{2},\\&{\text{etc}}.,\end{aligned}}$

qui remplacent les équations (g) ou (h) du n^o cité. Au lieu de l’équation (k), on aura donc, dans le cas d’une plaque très-épaisse,

$\mathrm {Q} ={\frac {3p}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {U} _{1}{\frac {d\operatorname {F} ''(t-g''z)}{dt}}e^{-z}r\,dz\,dr\,du\,;$

et en partant de cette expression de $\mathrm {Q} ,$ on résoudra sans difficulté tous les problèmes relatifs à une aiguille inclinée ou horizontale, dont nous nous sommes occupés dans ce § et dans le précédent.