comme constante et égale à
Si donc on fait
![{\displaystyle 1-\alpha =g,\qquad x'=x+h,\qquad dx'=dh,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fd20dc0738e7bc65c8896f47e331675dc1ce4e)
et que l’on traite
et
comme des quantités infiniment petites, on aura pour la limite demandée :
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {fx}{a}}\int {\frac {g\,dh}{g^{2}+{\frac {\pi ^{2}h^{2}}{a^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dae97a424ae746e81f6b4c8376df0994ffbca70)
Comme cette dernière intégrale est infiniment petite, pour toute valeur finie de la variable, on pourra l’étendre à des valeurs de
aussi grandes que l’on voudra ; en désignant donc par
une quantité positive et finie, dont la grandeur est arbitraire, et intégrant depuis
jusqu’à
nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {2fx}{\pi }}\operatorname {arc} .\left(\operatorname {tang} .={\frac {\delta }{g}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6cb55ec46aa5e6b7140e98b0b955dde929c626)
quantité quí se réduit à
à cause de
infiniment petit ; ce qu’il s’agissait de démontrer.
Dans le cas de
on rendra
infiniment peu différent de l’unité, en supposant successivement
et
et traitant toujours
comme une variable infiniment petite ; mais pour que
ne sorte pas des limites
il faudra n’intégrer que depuis
jusqu’à
dans la première hypothèse, et depuis
jusqu’à
dans la seconde ; ce qui réduira chaque portion d’intégrale à la moitié de la valeur précédente. Alors on aura, dans ce cas,
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {1}{2}}\left[fa+f(-a)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae28536c8a66dd8656cbeac2052d78ff242c72b)