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et si l’on substitue à la place de $\mathrm {A_{1},A_{2},A_{3}} ,$ etc., leurs valeurs numériques, l’équation (5) deviendra

$\left.{\begin{aligned}\int _{0}^{c}fx\,dx=\omega \mathrm {P} _{n}&-{\frac {\omega ^{2}}{12}}\left(\left[{\frac {dfx}{dx}}\right]-\left({\frac {dfx}{dx}}\right)\right)\\&+{\frac {\omega ^{4}}{720}}\left(\left[{\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right]-\left({\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right)\right)\\&-{\frac {\omega ^{6}}{30240}}\left(\left[{\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right]-\left({\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right)\right)\\&+{\text{etc}}.;\end{aligned}}\right\}$

(6)

les différentielles comprises entre des parenthèses ou entre des crochets, répondant toujours, les premières à la première limite $x=0,$ et les secondes à la seconde limite $x=c.$

À cause que $a$ est un multiple de $\omega ,$ le cosinus de ${\frac {2i\pi n}{\omega }}$ reste le même dans le changement de $x$ en $x-a\,;$ le reste $\mathrm {R} _{m}$ donné par l’équation (4), qu’il faut ajouter à cette série, quand on s’arrête au $n.$^ième terme inclusivement, aura donc pour expression :

$\mathrm {R} _{m}=-2(-1)^{m}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)^{2m}\int _{0}^{c}\left[\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m}}}\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}\right]{\frac {d^{2m}fx}{dx^{2m}}}dx.$

(7)

En intégrant encore une fois, et observant que $\sin .{\frac {2i\pi x}{\omega }}$ est nul à la seconde limite $x=c=n\omega ,$ aussi bien qu’à la première $x=0,$ on peut donner à $\mathrm {R} _{m}$ cette autre forme équivalente :

$\mathrm {R} _{m}=2(-1)^{m}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)^{2m+1}\int _{0}^{c}\left[\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m+1}}}\sin .{\frac {2i\pi x}{\omega }}\right]{\frac {d^{2m+1}fx\,dx}{dx^{2m+1}}}.$

(8)