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avec le nombre $m,$ et il arrivera très-souvent qu’elle décroîtra au-delà d’un certain nombre de termes. C’est ce qui aura lieu quand les quantités $\mathrm {B} _{m}$ et $\mathrm {C} _{m}$ augmenteront plus rapidement avec $m,$ que $\omega ^{2m}$ ne diminuera, et alors la série (6), après avoir été convergente dans les premiers termes, deviendra divergente et par conséquent inexacte. Dans le cas de $c=\infty ,$ ces limites seront illusoires, et il en faudra déterminer d’autres, propres à chaque exemple particulier.

La valeur exacte de la quantité $\mathrm {A} '_{m}$ qui entre dans la seconde limite, n’est pas connue comme celle de $\mathrm {A} _{m}.$ On a fait usage de différentes méthodes pour calculer sa valeur approchée ; nous indiquerons celle que fournit l’équation (6), en y faisant

$fx={\frac {1}{(1+x)^{2m+1}}},\qquad \omega =1,\qquad c=\infty .$

On a alors

$\int _{0}^{c}fx\,dx={\frac {1}{2m}},\qquad \mathrm {P} _{n}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m+1}\mathrm {A} '_{m}\,;$

et quel que soit le nombre entier $i,$ on a aussi

$\left[{\frac {d^{2i-1}fx}{dx^{2i-1}}}\right]=0,\qquad \left({\frac {d^{2i-1}fx}{dx^{2i-1}}}\right)=-2m+1\,.\,2m+2\ldots 2m+2i-1.$

Au moyen de ces valeurs, on tire de l’équation (6) :

$(2\pi )^{2m+1}\mathrm {A} '_{m}={\frac {m+1}{m}}+{\frac {m+1}{6}}-{\frac {m+1\,.\,m+2\,.\,m+3}{360}}$

$+{\frac {m+1\,.\,m+2\,.\,m+3\,.\,m+4\,.\,m+5}{15120}}-{\text{etc}}.$

En appelant $\mu$ le nombre de termes de cette série que l’on