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conservera, à partir du second, et $\mathrm {M}$ le reste qu’il y faudrait ajouter, on aura, d’après la formule (7) :

$\mathrm {M} =-(-1)^{\mu }\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2\mu }.m+1.m+2\ldots m$

$+2\mu \int _{0}^{\infty }\left[\sum {\frac {1}{i^{2\mu }}}\cos .2i\pi x\right]{\frac {dx}{(1+x)^{m+2\mu }}}.$

Il sera alternativement positif et négatif, ce qui montre que la série précédente donnera des valeurs de $\mathrm {A} 'm,$ alternativement plus grandes et plus petites que la valeur exacte, et qui en différeront, par conséquent, d’une quantité moindre que le terme où l’on s’arrêtera.

(7) On peut éliminer les différentielles de la fonction $fx$ qui sont contenues dans la formule (6), et les remplacer par ses différences finies.

En effet, soit

$\operatorname {F} z=fz+f(c-z)\,;$

désignons par $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},$ etc., les différences successives de $\operatorname {F} z,$ qui répondent à $z=0,$ et sont prises en supposant $\Delta z=\omega ,$ de sorte qu’on ait

${\begin{aligned}&\Delta _{1}=\operatorname {F} 2\omega -\operatorname {F} 0,\\&\Delta _{2}=\operatorname {F} 2\omega -2\operatorname {F} \omega +\operatorname {F} 0,\\&\Delta _{3}=\operatorname {F} 3\omega -3\operatorname {F} 2\omega +3\operatorname {F} \omega -\operatorname {F} 0,\\&{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

nous aurons cette formule d’interpolation :

$\operatorname {F} z=\operatorname {F} 0+{\frac {z}{\omega }}\Delta _{1}+{\frac {z(z-\omega )}{2\omega ^{2}}}\Delta _{2}+{\frac {z(z-\omega )(z-2\omega )}{2.3.\omega ^{3}}}\Delta _{3}+{\text{etc}}.\,;$

d’après les notations précédentes, on aura aussi