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$\left({\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right)-\left[{\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right]={\frac {d^{2m-1}\operatorname {F} z}{dz^{2m-1}}},$

pourvu qu’on fasse $z=0$ après la différentiation ; il en résultera

${\begin{aligned}&\omega \left(\left({\frac {dfx}{dx}}\right)-\left[{\frac {dfx}{dx}}\right]\right)=\Delta _{1}+{\frac {1}{3}}\Delta _{3}-{\frac {1}{4}}\Delta _{4}+{\text{etc}}.,\\&\omega ^{3}\left(\left({\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right)-\left[{\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right]\right)=\Delta _{3}-{\frac {3}{2}}\Delta _{4}+{\text{etc}}.,\\&{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

et en substituant ces valeurs dans l’équation (6), il vient

$\int _{0}^{c}fx\,dx=\omega \mathrm {P} _{n}+{\frac {\omega }{12}}\Delta _{1}-{\frac {\omega }{24}}\Delta _{2}+{\frac {19\omega }{720}}\Delta _{3}-{\frac {3\omega }{160}}\Delta _{4}+{\text{etc}}.$

(9)

En y faisant $\omega =1,$ cette formule coïncide avec celle que M. Laplace a donnée dans le tome IV de la Mécanique céleste. Elle ne suppose pas connue l’expression de $fx,$ Pour en faire usage, il suffira d’avoir un nombre $n+1$ de valeurs numériques de cette quantité, correspondantes à autant de valeurs équi-différentes de $x\,:$ on ne pourra toutefois l’employer utilement que quand les différences $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},$ etc., décroîtront très-rapidement.

La formule d’interpolation dont nous sommes partis, ne subsiste pas lorsque $fx$ est une fonction périodique de $\sin .2\pi x$ et $cos.2\pi x,$ et que l’on prend $\omega =1\,;$ car alors toutes les différences $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},$ etc., qu’elle contient, seraient nulles, et l’on aurait $\operatorname {F} z=\operatorname {F} 0,$ ce qui n’est pas vrai. Il en résulte que l’équation (9) que nous en avons déduite, n’aura pas lieu non plus dans ce cas particulier ; mais on obvie à cet incon-