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vénient en prenant une autre valeur pour la différence a qui peut être aussi-petite que l’on voudra.

(8) La formule d’Euler se trouve en défaut dans un autre cas, ainsi que M. Legendre en a fait la remarque à la fin de son traité des Fonctions elliptiques^[1]. Ce cas a lieu lorsque les différentielles impaires de $fx$ s’évanouissent, ou, plus généralement, sont égales aux deux limites de l’intégrale que l’on considère : Quelle que soit la quantité $\omega ,$ l’équation (6) se réduirait alors à

$\int _{0}^{c}fx\,dx=\omega \mathrm {P} _{n}\,;$

d’où il résulterait que l’intégrale proposée s’exprimerait sous forme finie, et que sa valeur dépendrait du nombre arbitraire $n,$ ce qui serait absurde. Mais ce résultat provient de ce que l’on a négligé le reste $\mathrm {R} _{m},$ qui, dans ce cas particulier, au lieu de décroître à mesure que $m$ augmente, est au contraire indépendant de la grandeur de ce nombre. En effet, en intégrant par partie, et observant qu’on a, par hypothèse,

$\left({\frac {d^{2m+1}fx}{dx^{2m+1}}}\right)=\left[{\frac {d^{2m+1}fx}{dx^{2m+1}}}\right],$

la formule (8) donnera

$\mathrm {R} _{m}=2(-1)^{m}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)^{2m+2}\int _{0}^{c}\left[\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m+2}}}\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}\right]{\frac {d^{2m+2}fx}{dx^{2m+2}}}dx\,;$

et si l’on compare cette expression à la formule (7) dans la-

1. Tome II, page 578.