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d’être remarquée, quoiqu’elle ne soit pas sous forme finie, et qu’il ne semble pas qu’on puisse l’y ramener.

(11) Soit encore

$fx={\frac {\cos .ax}{b^{2}+x^{2}}}\,;$

$a$ et $b$ étant des constantes que nous regarderons comme positives. On aura, par les formules connues,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\cos .2i\pi x\cos .ax}{b^{2}+x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2b}}\left(e^{\mp b(2i\pi -a)}+e^{-b(2i\pi -a)}\right)\,;$

(11)

le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu dans la première exponentielle, selon que l’on a $a<$ ou $>2i\pi ,$ afin que son exposant soit toujours négatif. D’après cela, si l’on désigne par $2n\pi ,$ le plus grand multiple de $2\pi$ qui soit contenu dans $a,$ il faudra prendre le premier signe, lorsqu’on aura $i>n,$ et le second, dans le cas de $i=n$ ou $<n.$ En partageant la somme $\sum _{1}^{\infty }$ en deux autres, dont l’une soit prise depuis $i=1$ jusqu’à $i=n,$ et l’autre depuis $i=n+1$ jusqu’à $i=\infty ,$ et, sommant les progressions géométriques qui en résulteront, on en conclura

${\begin{aligned}\sum _{1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {2\cos .2i\pi x\cos .ax}{b^{2}+x^{2}}}dx=&{\frac {\pi }{2b}}{\frac {e^{-b(2\pi +2n\pi -a)}+e^{-b(2\pi +a)}}{1-e^{-2\pi b}}}\\&+{\frac {\pi }{2b}}{\frac {e^{b(2\pi -a)}-e^{b(2\pi +2n\pi -a)}}{1-e^{2\pi b}}}.\end{aligned}}$

On a d’ailleurs

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .ax}{b^{2}+x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2b}}e^{-ab}\,;$

(12)