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si done on prend $\omega =1,$ la formule (10), deviendra, toute réduction faite,

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\pi \left[e^{-b(a-2n\pi -\pi )}+e^{b(a-2n\pi -\pi )}\right]}{2b\left(e^{\pi b}-e^{-\pi b}\right)}}=\\&\qquad \qquad {\frac {1}{2b^{2}}}+{\frac {\cos .a}{b^{2}+1}}+{\frac {\cos .2a}{b^{2}+4}}+{\frac {\cos .3a}{b^{2}+9}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}$

(13)

En différentiant cette équation par rapport à $a,$ on en déduit cette autre :

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\pi \left[e^{-b(a-2n\pi -\pi )}-e^{b(a-2n\pi -\pi )}\right]}{2\left(e^{\pi b}-e^{-\pi b}\right)}}=\\&\qquad \qquad {\frac {\sin .a}{b^{2}+1}}+{\frac {2\sin .2a}{b^{2}+4}}+{\frac {3\sin .3a}{b^{2}+9}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}$

(14)

Au moyen du nombre $n$ qu’elle renferme, l’équation (13) subsiste pour toutes les valeurs réelles et positives de $a,$ parce qu’en effet, les équations (11) et (12) dont nous sommes partis, ont lieu sans exception. Mais il n’en est pas de même à l’égard de leurs différentielles par rapport à $a,$ et pour cette raison, l’équation (14) est en défaut quand $a$ est zéro ou un multiple de $2\pi .$

Pour la rendre applicable à ces valeurs particulières, j’obqu’en différentiant l’équation (12), et faisant ensuite $a=0,$ on aura

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin .ax}{b^{2}+x^{2}}}dx={\frac {1}{2}}\pi ,$

tandis que cette intégrale est évidemment nulle ; dans le cas de $a=0,$ il faut donc retrancher du premier membre de