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l’équation (14), le terme ${\frac {1}{2}}\pi$ qu’il renferme de trop ; ce qui le réduit effectivement à zéro, comme le second membre. Dans le cas de $a=2n\pi$ et $i=n,$ la différentielle de l’équation (11) par rapport à $a,$ donnerait

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2x\cos .2n\pi x\sin .2n\pi x}{b^{2}+x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2}}\left(1+e^{-4n\pi b}\right)\,;$

au lieu que la valeur exacte de cette intégrale est seulement ${\frac {1}{2}}\pi e^{-4n\pi b}\,;$ d’où il résulte que pour la valeur particulière $a=2n\pi ,$ le premier membre de l’équation (14) renferme aussi un terme ${\frac {1}{2}}\pi$ qui ne devrait pas s’y trouver en l’en retranchant, ce premier membre devient nul en même temps que le second.

Les équations (11) et (12); ainsi que deurs differentielles, et, par conséquent, les formules (13) et (14) qui en dérivent, subsistent encore quand on y remplace $b$ par $g+b{\sqrt {-1}}\,;$ $g$ et $b$ étant des quantités réelles, dont la première est positive, mais aussi petite que l’on voudra. Après cette substitution, si l’on suppose que la partie $g$ devienne infiniment petite, et qu’on la supprime en conséquence on aura

${\begin{aligned}{\frac {\pi \cos .b(a-2n\pi -\pi )}{2b\sin .\pi b}}&={\frac {1}{2b^{2}}}+{\frac {\cos .a}{b^{2}-1}}+{\frac {\cos .2a}{b^{2}-4}}+{\frac {\cos .3a}{b^{2}-9}}+{\text{etc}}.,\\{\frac {\pi \sin .b(a-2n\pi -\pi )}{2\sin .\pi b}}&={\frac {\sin .a}{b^{2}-1}}+{\frac {2\sin .2a}{b^{2}-4}}+{\frac {3\sin .3a}{b^{2}-9}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Toutes les formules de ce n^o étaient déjà connues. Elles se trouvent dans les ouvrages d’Euler et de M. Legendre, et aussi dans mes Mémoires sur les intégrales définies qui font partie du Journal de l’Ecole Polytechnique. On en déduit, facilement tous les résultats que l’on a trouvés jusqu’à