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présent, et, vraisemblablement, tout ce qu’il est possible d’obtenir, sur les séries de sinus et de cosinus, et sur celles des puissances négatives des nombres naturels.

(12) Soit que l’on forme la valeur exacte d’une intégrale définie ou qu’on la calcule par approximation, il faut avoir égard aux observations suivantes par lesquelles nous terminerons ce Mémoire.

1^o. Lorsque l’une des limites de l’intégrale est infinie, la fonction $fx$ comprise sous le signe $\int ,$ doit décroître à mesure qu’elle s’en approche, et devenir nulle à cette limite. Cela est nécessaire pour que la partie $\omega \mathrm {P} _{n}$ de la formule (6), qui se change alors en une suite infinie, soit une série convergente. Néanmoins on a souvent employé des intégrales de fonctions périodiques, prises depuis zéro jusqu’à l’infini ; mais les valeurs qu’on leur assigne ne sauraient se vérifier numériqueinent, ni être données par la formule (6) ; et l’on doit ne les considérer que comme des limites d’autres intégrales pour lesquelles la fonction $fx$ était décroissante et convergente vers zéro. C’est ainsi qu’en désignant par $a$ une constante réelle et qui ne soit pas nulle, on a

$\int _{0}^{\infty }\cos .ax\,dx=0,\qquad \int _{0}^{\infty }\sin .ax\,dx={\frac {1}{a}},$

en regardant ces résultats comme les limites de ceux-ci :

$\int _{0}^{\infty }e^{-gx}\cos .ax\,dx={\frac {g}{g^{2}+a^{2}}},\qquad \int _{0}^{\infty }e^{-gx}\sin .ax\,dx={\frac {a}{g^{2}+a^{2}}},$

dans lesquels $g$ est une constante positive, aussi petite qu’on