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voudra, et que l’on fait infiniment petite pour passer aux intégrales précédentes. La première peut encore être considérée comme la limite de l’une ou l’autre de celles-ci :

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-g^{2}x^{2}}\cos .ax\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2g}}e^{-{\frac {a^{2}}{4g}}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .ax}{1+g^{2}x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2g}}e^{-{\frac {a}{g}}},\end{aligned}}$

qui s’accordent aussi à donner zéro pour valeur de cette intégrale, à la limite où l’on suppose la quantité $g$ infiniment petite, en exceptant toujours le cas où l’on aurait $a=0.$

À cause de cette exception, si les intégrales que nous citons pour exemples, sont comprises sous d’autres signes $\int ,$ relatifs à $a,$ il faudra avoir soin de les remplacer par celles dont elles sont les limites. Ainsi, en désignant par $\operatorname {F} a$ et $\operatorname {F} 'a$ deux fonctions données de $a,$ si l’on a

$\int \operatorname {F} a\left(\int _{0}^{\infty }\cos .ax\,dx\right)da,\qquad \int \operatorname {F} 'a\left(\int _{0}^{\infty }\sin .ax\,dx\right)da,$

il faudra prendre

$\int {\frac {g\operatorname {F} a\,da}{g^{2}+a^{2}}},\qquad \int {\frac {a\operatorname {F} 'a\,da}{g^{2}+a^{2}}},$

et ne faire la constante $g$ infiniment petite qu’après avoir effectué les intégrations relatives à $a,$ lorsque leurs limites comprendront $a=0.$ Soit, par exemple,

$\operatorname {F} a=\cos .a,\qquad \operatorname {F} 'a=\sin .a\,;$