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$\int \left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)dm=\mathrm {C} ,\quad \int \left(z_{1}^{2}+x_{1}^{2}\right)dm=\mathrm {B} ,\quad \int \left(y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\right)dm=\mathrm {A} ,$

au moyen de quoi, nous conclurons de l’équation précédente :

$\int {\text{ȣ}}^{2}r_{1}^{2}dm=\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\,;$

or, cette intégrale exprime évidemment la somme des forces vives de tous les points du sphéroïde ; nous aurons donc pour la demi-somme

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\mathrm {A} p^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} q^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {C} r^{2}.$

D’après les équations (1), on a

${\begin{aligned}p&=\psi '\sin .\theta \sin .\varphi -\theta '\cos .\varphi ,\\q&=\psi '\sin .\theta \cos .\varphi +\theta '\sin .\varphi ,\\r&=\varphi '-\psi \cos .\theta '\,;\end{aligned}}$

si donc on différentie $\mathrm {T}$ par rapport à $\psi ',\theta '$ et $\varphi ',$ il en résultera

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} p\sin .\theta \sin .\varphi +\mathrm {B} q\sin .\theta \cos .\varphi -\mathrm {C} r\cos .\theta ,\\\eta &=\mathrm {B} q\sin .\varphi -\mathrm {A} p\cos .\varphi ,\\\omega &=\mathrm {C} r\,;\end{aligned}}$

et en substituant dans ces formules, à la place de $p,\,q,\,r,\,\theta ,\,\psi$ et $\varphi ,$ leurs valeurs données par les équations (4), on aura celles de $\xi ,\eta$ et $\omega$ dont on a besoin, c’est-à-dire en fonctions de $t,\,n,\,e,\,c,\,\lambda ,\,g$ et $l.$

La substitution faite, et en négligeant toujours les puissances de $e$ supérieures au carré, on trouve

$\xi =-\mathrm {C} n\cos .\lambda +{\frac {\mathrm {(C-A)(C-B)} e^{2}\cos .\lambda }{2\mathrm {C} }},$