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pendiculaire au plan de cet angle (n^o 1), nous aurons, d’après les formules de la transformation des coordonnées,

${\begin{aligned}\alpha &=x(\cos .\theta \sin .\psi \sin .\varphi +\cos .\psi \cos .\varphi )\\&+y(\cos .\theta \cos .\psi \sin .\varphi -\sin .\psi \cos .\varphi )-z\sin .\theta \sin .\varphi ,\\\beta &=x(\cos .\theta \sin .\psi \cos .\varphi -\cos .\psi \sin .\varphi )\\&+y(\cos .\theta \cos .\psi \cos .\varphi +\sin .\psi \sin .\varphi )-z\sin .\theta \cos .\varphi ,\\\gamma &=x\sin .\theta \sin .\psi +y\sin .\theta \cos .\psi +z\cos .\theta .\end{aligned}}$

On en déduira $\alpha ',\beta ',\gamma ',$ en y remplaçant $x,y,z,$ par les coordonnées analogues du centre de la lune que nous représenterons par $x',\,y',\,z'.$

Nous supprimerons, comme plus haut, dans les différences partielles de $\Omega ,$ les termes dépendants de l’angle $nt+l.$ Or, en considérant les valeurs de $\theta ,\,\psi$ et $\varphi$ données par les équations (4), il est facile de voir que les parties de $\alpha ^{2},\,\beta ^{2},\,\gamma ^{3},\,\gamma ,$ et de semblables quantités relatives à la lune, qui dépendront de la première puissance de e, ne contiendront que des puissances impaires de $nt+l\,;$ il en sera de même à l’égard de la partie de $\Omega ,$ linéaire par rapport à $f$ et $f',$ et résultant des formules (11) et (13); donc aussi les valeurs correspondantes de ${\frac {d\Omega }{df}}$ et ${\frac {d\Omega }{df'}}$ ne renfermeront que des termes à courte période, et devront être entièrement supprimées. Ainsi en négligeant les termes qui ont pour facteur $f$ ou $f',$ les équations (9) se réduiront à

$df=0,\qquad df'=0\,;$

et dans cette première approximation, les quantités $f$ et $f'$ seront constantes abstraction faite des termes insensibles dont la période est un jour ou un sous-multiple du jour.

(16) Si l’on tenait compte de la non-symétrie de la terre