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$\left.{\begin{aligned}\Theta =&-{\frac {\omega c\zeta }{(1+\omega )\beta }}\cos .(\beta t+\beta ')+{\frac {\omega c^{2}\zeta \operatorname {tang} .h}{4(1+\omega )\beta }}\cos .2(\beta t+\beta ')\\&\quad +{\frac {\zeta \operatorname {tang} .h}{2(1+\omega )}}\left({\frac {\cos .2v}{m}}+{\frac {\omega \cos .2v'}{m'}}\right),\\\Psi =&{\frac {2\omega c\zeta \cot .2h}{(1+\omega )\beta }}\sin .(\beta t+\beta ')-{\frac {\omega c^{2}\zeta }{4(1+\omega )\beta }}\sin .2(\beta t+\beta ')\\&\quad -{\frac {\zeta }{2(1+\omega )}}\left({\frac {\sin .2v}{m}}+{\frac {\omega \sin .2v'}{m'}}\right).\end{aligned}}\right\}$

(19)

On devrait ajouter à ces valeurs des constantes qui les rendissent nulles quand $t=0\,;$ mais on peut s’en dispenser en supposant que $h$ représente maintenant l’inclinaison $\theta$ qui a lieu à cette époque, diminuée de la valeur correspondante de $\Theta ,$ et que l’origine de l’angle $\psi$ est l’équinoxe de la même époque, corrigée de même de la valeur de $\Psi .$

(23) Les formules (18) déterminent à chaque instant la position moyenne de l’équateur par rapport à l’écliptique fixe. Elles ne different de celles de la Mécanique céleste^[1] qu’en ce que nous avons conservé dans la seconde le trèspetit terme dépendant de la variation de l’excentricité de l’orbite solaire, et développé les inégalités séculaires suivant les puissances du temps. On s’assurera de leur coïncidence en développant ainsi les formules de M. Laplace, jusqu’à la seconde puissance inclusivement, et observant que, d’après ses notations comparées aux nôtres, on a

$\sum c\sin .6\beta =0,\quad \sum c\cos .\beta =0,\quad \sum cf\cos .\beta =g,\quad \sum cf\sin .\beta =-g'.$

Soit actuellement $\theta '$ l’inclinaison de l’équateur sur l’écliptique mobile. Projetons l’équinoxe du printemps sur l’éclip-

1. Tome II, page 318.