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négatives, de l’une des variables $r,s.$ La première condition sera remplie, si l’on pose $\operatorname {F} (r)=e^{ar}-1,$ quand la valeur numérique de $x$ sera inférieure à celle de $a.$ Donc la formule (31) suppose $x^{2}<a^{2}.$

Concevons encore que l’on propose de transformer la fonction $f(x)$ en une série de la forme

$\mathrm {R} _{1}\cos .r_{1}x+\mathrm {R} _{2}\cos .r_{2}x+$etc.,

$r_{1},r_{2},\ldots$ étant les racines de

$\operatorname {F} (r)=0.$

On observera d’abord qu’on a, pour des valeurs positives de $x,$

(32)

$f(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\cos .\alpha \mu .\cos .\alpha x.f(\mu )d\alpha d\mu .$

De plus la formule (19) donnera

(33)

$\cos .\alpha x={\mathcal {E}}{\frac {\cos .rx\int _{0}^{1}\operatorname {F} '\left[r+\lambda (\alpha -r)\right]d\lambda }{((\operatorname {F} (r)))}},$

On aura donc par suite

(33)

$f(x)={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {E}}{\frac {\cos .rx\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{1}\cos .\alpha \mu .\operatorname {F} '\left[r+\lambda (\alpha -r)\right]f(\mu )d\lambda d\alpha d\mu }{((\operatorname {F} (r)))}}.$