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Soit $t$ cette température en degrés centésimaux, et $\mathrm {F,\,P}$ les dilatations linéaires du fer et du platine dont l’étalon et la boule sont faits. Alors, si $\mathrm {E}$ représente la longueur de l’étalon, et $\mathrm {D}$ le diamètre de la boule, à la température de la glace fondante, il est clair que, pour la température moyenne $t$ à laquelle les comparaisons sont réduites, la longueur de l’étalon sera devenue $\mathrm {E} [1+\mathrm {F} t],$ et celle du diamètre de la boule $\mathrm {D} [1+\mathrm {P} t].$ Si donc l’excès de la première sur la seconde a été trouvé par le comparateur égal à $\delta ,$ $\delta$ étant une quantite si petite que l’on puisse indifféremment lui appliquer, ou ne pas lui appliquer les réductions de température, l’énoncé du résultat en langage algébrique sera

$\mathrm {D} (1+\mathrm {P} t)=\mathrm {E} (1+\mathrm {F} t)-\delta ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {D} =\mathrm {E} +{\frac {\mathrm {E(F-P)} t-\delta }{1+\mathrm {P} t}}$

(1)

Ce qui donnera le diamètre de la boule à la température de la glace fondante, lorsque l’on connaîtra celle de l’étalon à cette même température, et que l’on aura de plus observé la différence $\delta .$

Reste donc maintenant à connaître $\mathrm {E} \,;$ or rien n’est plus facile, car il suffit de prendre une des règles pendules dont la languette porte des divisions connues ; de la placer sur la barre du comparateur ; puis de chercher, par la méthode des coïncidences, la longueur de l’étalon $\mathrm {E}$ en fonction de ces divisions-là. Par exemple, pour la mesure de la boule de Borda, j’ai employé un étalon $\mathrm {E} ,$ dont la longueur différait très-peu de $36^{\text{mm}}{,}6,$ et je l’ai mesuré en fonction de la règle de Dunkerque, dont les divisions sont des cinquièmes de millimètres, ou $0^{\text{mm}}{,}2.$ Désignons par $\mathrm {R} _{0}$ la longueur inconnue de la règle et de sa languette, quand celle-ci est rentrée jusqu’au zéro de ses divisions, la température étant celle de la glace fondante. Si, à cette même température, nous faisons sortir la languette de $0^{\text{mm}}{,}2,$ et que nous lui ajoutions l’étalon $\mathrm {E} ,$ très-peu différent de $36^{\text{mm}}{,}6,$ nous aurons une longueur totale $\mathrm {R} _{0}+0{,}2+\mathrm {E} ,$ qui sera presque exactement égale à $\mathrm {R} _{0}+36^{\text{mm}}{,}8\,;$ par conséquent, si nous lisons alors l’index du comparateur, et si nous le lisons encore en amenant réellement la languette à $36^{\text{mm}}{,}8$ après avoir ôté l’étalon, l’excès de la seconde