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$m$ et $n$ étant de très-grands nombres.

On aura évidemment, quelle que soit la constante $r,$

(2)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }r^{-m}e^{-ms{\sqrt {-1}}}\varphi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\left[\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\right]^{n}ds,$

puis, en posant $m=n\mu ,$

(3)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\left\{{\frac {\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)^{\mu }}}\right\}^{n}ds.$

Cette valeur de $\mathbf {S} _{n}$ coïncidera avec l'intégrale (1) du premier paragraphe, si l'on pose $x=s,$

(4)

$u={\frac {\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{r^{\mu }e^{s\mu {\sqrt {-1}}}}},\quad v={\frac {1}{2\pi }}\varphi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right),$

(5)

$w=\operatorname {l} \left[\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\right]-\mu \operatorname {l} (r)-s\mu {\sqrt {-1}},$

(6)

${\frac {dw}{ds}}=w'=p'+q'{\sqrt {-1}}=\left\{{\frac {re^{s{\sqrt {-1}}}\varpi '\left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}}-\mu \right\}{\sqrt {-1}}\,;$

et la série qui aura pour terme général $\mathbf {S} ,$ sera convergente, si le module maximum maximorum de la fonction

(7)

$u={\frac {\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)^{\mu }}}$

est plus petit que l'unité, quand la constante $r$ est choisie de manière que la valeur des correspondante à ce module vérifie l'équation imaginaire $w'=0,$ ou

(8)

${\frac {re^{s{\sqrt {-1}}}\varpi '\left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{\varpi \left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}}=\mu .$