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Le second membre de la formule (3 1) devant avoir une partie réelle positive, la valeur de $\omega ,$ tirée de l’équation (29), doit nécessairement être imaginaire. Cela posé, la formule (27) donnera

(32)

${\frac {\left[c\sin .(t+\omega )\right]^{n+1}}{\omega ^{n-1}}}\left(-{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}=\Omega +\Omega _{1}{\sqrt {-1}}.$

Si l'on fait en particulier $t={\frac {\pi }{2}},$ on vérifiera l'équation (29) en prenant

(33)

$\omega =r{\sqrt {-1}},\quad {\frac {e^{r}-e^{-r}}{e^{r}+e^{-r}}}={\frac {1}{r}},$

et l'on tirera de la formule (32)

(34)

$\Omega +\Omega _{1}{\sqrt {-1}}=\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n+1}r\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{n-1}$

$=\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n+1}r\left[\cos .{\frac {n-1}{2}}\pi -{\sqrt {-1}}\sin .{\frac {n-1}{2}}\pi \right].$

Donc par suite

(35)

$\Omega =r\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n+1}\cos .{\frac {n-1}{2}}\pi \,;$

et la formule (23) donnera

(36)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {(1\pm \varepsilon )2r}{\sqrt {2\pi n}}}\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n+1}\cos .\left({\frac {n-1}{2}}\right)\pi ,$

ce que l'on savait déja.

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Post-Scriptum. On peut aisément calculer à l'aide des formules précédentes la valeur approchée de la différence finie $\Delta ^{m}s^{n},$ lorsque $m$ et $n$ sont des nombres entiers, et que, les