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valeurs de $m,n,s,$ étant très-considérables, les deux rapports ${\frac {m}{n}}=\mu ,$ ${\frac {s}{n}}=\varsigma$ conservent des valeurs finies. En effet on a identiquement, en posant $i=0$ après les différentiations,

(1)

$\Delta ^{m}s^{n}={\frac {d^{n}\left\{e^{(m+s)i}-{\frac {m}{1}}e^{(m+s-1)i}+\ldots \right\}}{di^{n}}}={\frac {d^{n}\left\{e^{si}\left(e^{i}-1\right)^{m}\right\}}{di^{n}}},$

ou ce qui revient au même

(2)

$\Delta ^{m}s^{n}=1.2.3\ldots n.\mathbf {S} _{n},$

la valeur de $\mathbf {S} _{n}$ étant donnée par l'équation

(3)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n}\left\{e^{\varsigma i}\left(e^{i}-1\right)^{\mu }\right\}}{di^{n}}}.$

D’ailleurs, pour faire coïncider cette valeur de $\mathbf {S} _{n}$ avec celle que fournit l’équation (1) du § III, il suffit de poser

(4)

$\varphi (x)=1,\quad \psi (x)=e^{\varsigma x}\left(e^{x}-1\right)^{\mu }=e^{\frac {sx}{n}}\left(e^{x}-1\right)^{\frac {m}{n}}.$

Alors l'équation (6) du § III se réduit à

(5)

${\frac {s}{n}}+{\frac {m}{n}}{\frac {1}{1-e^{-\omega }}}-{\frac {1}{\omega }}=0,$

et la formule (11) du même paragraphe donne

(6)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1\pm \varepsilon }{\sqrt {2\pi }}}{\frac {e^{s\omega }\left(e^{\omega }-1\right)}{\omega ^{n+1}}}\left\{{\frac {n}{\omega ^{2}}}-{\frac {m}{\left(e^{\frac {\omega }{2}}-e^{-{\frac {\omega }{2}}}\right)^{2}}}\right\}^{-{\frac {1}{2}}},$

$\omega$ étant la racine réelle de l’équation (5). Comme on a d’ailleurs sensiblement, pour de très-grandes valeurs de $n,$