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(7)

${\frac {1.2.3\ldots n}{n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}}}={\sqrt {2\pi }},$

on tirera de la formule (2) combinée avec les équations (6) et (7)

(8)

$\Delta ^{m}s^{n}=(1\pm \varepsilon )\left({\frac {n}{\omega }}\right)^{n+1}e^{s\omega -n}\left(e^{\omega }-1\right)^{m}\left\{{\frac {n^{2}}{\omega ^{2}}}-{\frac {mn}{\left(e^{\frac {\omega }{2}}-e^{-{\frac {\omega }{2}}}\right)^{2}}}\right\}^{-{\frac {1}{2}}}.$

L’équation (8) coïncide avec une formule donnée par M. Laplace, et dont j’ai présenté une démonstration nouvelle dans le Mémoire sur la conversion des différences finies des puissances en intégrales définies. Il est d’ailleurs facile de s’assurer 1^o que cette formule subsiste, dans le cas même où $n$ cesse d’être un nombre entier ; 2^o que, dans le cas où $s$ devient négatif, elle fournit, non plus la valeur de la différence finie

(9)

$\Delta ^{m}s^{n}=(m+s)^{n}-{\frac {m}{1}}(m+s-1)^{n}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}(m+s-2)^{n}+{\text{etc}}.,$

mais seulement la partie de cette différence qui renferme des puissances $n^{mes}$ de quantités positives.