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| (5) |
![{\displaystyle {\frac {1}{z-x}}-h{\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{z-x}}\right]}{dz}}-{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{z-x}}\right]^{2}}{dz}}-\ldots -{\frac {h^{n}}{n}}{\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{z-x}}\right]^{n}}{dz}}+\varphi '(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d384409b3dba7ae33936ff8913df0256f11dcc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{(z-x)}}\left[1+{\frac {h\varpi (z)}{z-x}}+\ldots +\left({\frac {h\varpi (z)}{z-x}}\right)^{n}\right]-{\frac {h\varpi ''(z)}{z-x}}\left[1+\ldots +\left({\frac {h\varpi (z)}{z-x}}\right)^{n-1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef545217a8add8ad0e4f11ff48183e2198e92926)
ou
![{\displaystyle 1-\left({\frac {h\varpi (z)}{z-x}}\right)^{n+1}-h\varpi '(z)\left[1-\left({\frac {h\varpi (z)}{z-x}}\right)^{n}\right]+\varphi '(z)\left[z-x-h\varpi (z)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e6048c5dee195d46a1daf8fe9c6b6a6a5fe941)
Donc
![{\displaystyle \left[z-x-h\varpi (z)\right]\varphi '(z)=\left({\frac {h\varpi (z)}{z-x}}\right)^{n+1}-h\varpi '(z)\left({\frac {h\varpi (z)}{z-x}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd81b66d32795148df7cb5c11df771e472d63a6)
![{\displaystyle ={\frac {h^{n+1}}{(z-x)^{n+1}}}\left[\varpi (z)-(z-x)\varpi '(z)\right]\left[\varpi (z)\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6b1ea7d4985654a401868384ac11930412b3ed)
| (6) |
![{\displaystyle \varphi '(z)={\frac {h^{n+1}\left[\varpi (z)\right]^{n}\left[\varpi (z)-(z-x)\varpi '(z)\right]}{(z-x)^{n+1}\left[z-x-h\varpi (z)\right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabee826b1f68fa8e7a46a079f1bee03eda255a1)
et par suite, si l’on fait pour abréger,
| (7) |
![{\displaystyle {\frac {\left[\varpi (z)\right]^{n}\left[\varpi (z)-(z-x)\varpi '(z)\right]}{z-x-h\varpi (z)}}f(z)={\frac {\chi (z)}{z-\zeta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3756af1b52f08d71db5590bccee2ef5ad5fc7d)
on aura
| (8) |
![{\displaystyle {\frac {f(z)}{z-x}}-{\frac {h}{1}}f(z){\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{z-x}}\right]}{dz}}-{\frac {h^{2}}{2}}f(z){\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{z-x}}\right]^{2}}{dz}}-\ldots -{\frac {h^{n}}{n}}f(z){\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{z-x}}\right]^{n}}{dz}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5333f6e60332c28c45a1db942f9144705bf5a2)
Concevons maintenant que l’on prenne les résidus des deux membres de l’équation (8) par rapport aux seules valeurs
