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de $z$

$z=x,\qquad z=\zeta .$

Alors, en ayant égard à la formule

(9)

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}f(z){\frac {d\left[{\frac {\varpi (z)}{((z-x))}}\right]}{dz}}&=-{\mathcal {E}}f'(z){\frac {\left[\varpi (z)\right]^{m}}{(((z-x)^{m}))}}\\&=-{\frac {1}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}\left[f'(x)\left(\varpi (x)\right)^{m}\right]}{dx^{m-1}}},\end{aligned}}$

on trouvera

(10)

$f(\zeta )=$

$f(x)+{\frac {h}{1}}f(x)\varpi (x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[f'(x)\left(\varpi (x)\right)^{2}\right]}{dx}}+\ldots +{\frac {h^{n}}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n-1}\left[f'(x)\left(\varpi (x)\right)^{n}\right]}{dx^{n-1}}}$

$+{\mathcal {E}}{\frac {h^{n+1}\chi (z)}{(((z-\zeta )(z-x)^{n+1}))}}.$

La série comprise dans le second membre de la formule (10) est la série de Lagrange. Si l’on nomme $r_{n+1}$ le reste qui complète cette série prolongée jusqu’au terme qui renferme $h^{n},$ on aura

(11)

$r_{n+1}={\mathcal {E}}{\frac {\chi (z)}{(((z-\zeta )(z-x)^{n+1}))}}h^{n+1},$

la valeur de $\chi (z)$ étant donnée par la formule (7); et par conséquent

(12)

$r_{n}={\mathcal {E}}{\frac {\psi (z)}{(((z-x)^{n}(z-\zeta )))}}h^{n},$

la valeur de $\psi (z)$ étant donnée par l'équation

(13)

${\frac {\psi (z)}{z-\zeta }}={\frac {\left[\varpi (z)\right]^{n-1}\left[\varpi (z)-(z-x)\varpi '(z)\right]}{z-x-h\varpi (z)}}f(z).$