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les quantités d’oxigène de la silice, de l’alumine et du bioxide de fer sont entre elles comme les nombres $3{,}2$ et $1.$ Par conséquent nous avons $x'={\frac {2x}{3}},$ et $x''={\frac {x'}{2}}={\frac {x}{3}}.$

La formule des grenats étant

$2\mathrm {{\overset {...}{A}}\,{\overset {...}{S}}i+} \left.{\begin{aligned}&\mathrm {{\overset {..}{C}}a} \\&{\overset {..}{\mathrm {F} }}\\&{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}^{3}\mathrm {{\overset {...}{S}}i^{2}}$

les quantités d’oxigène de la silice, de l’alumine et des bioxides que cette substance renferine sont entre elles comme les nombres $2{,}1$ et $1\,;$ par conséquent nous avons $y'={\frac {y}{2}},$ $y''=y'={\frac {y}{2}}.$

En substituant ces conditions, les équations précédentes deviennent

${\begin{aligned}x\ \ +\ y\ &=0{,}21247\\{\frac {2x}{3}}+{\frac {y}{2}}&=0{,}13499\\{\frac {x}{3}}+{\frac {y}{2}}&=0{,}07738\end{aligned}}$

Comme il y a ici trois équations pour ici trois équations pour deux inconnues, il faut que deux d’entre elles satisfassent à la troisième et aux conditions, si l’analyse renferme réellement les deux substances supposées, et rien qu’elles, et si les données fournies par l’opération chimique sont rigoureusement exactes.

Les deux premières équations donnent les valeurs

$x=0{,}172534\qquad y=0{,}039936$

et par conséquent