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qu’il s’agira de déterminer en fonctions de $x$ et de $t.$ Mais pour simplifier la question encore davantage, nous supposerons que la corde soit homogène et d’une épaisseur constante, ce qui rendra p et a constantes, et qu’elle ne soit soumise à aucune force donnée, ce qui rendra nulles $\mathrm {X,Y,Z} .$

Cela posé, les équations du mouvement déduites des équations (3), seront :

${\begin{aligned}&\rho {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}=0,\\&\rho {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0,\\&\rho {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=0.\end{aligned}}$

De plus l’élément $dx$ devenant $dx+du$ au bout du temps $t,$ sa dilatation sera ${\frac {du}{dx}}\,;$ et comme il remplace l’élément $ds$ de la courbe, on aura, d’après le n^o 25,

$\delta ={\frac {du}{dx}},\qquad \mathrm {T} =-{\frac {5k}{2}}{\frac {du}{dx}}.$

Pour plus de clarté, je distinguerai deux parties dans le déplacement $u$ du point $\mathrm {M} .$ Je supposerai qu’on ait d’abord fait éprouver à la corde une tension constante, qui ait produit un allongement $\alpha \,;$ la partie correspondante de $u$ sera ${\frac {\alpha x}{l}},$ $l$ étant, comme plus haut, la longueur primitive de la corde, et la variable $x$ ayant pour origine une de ses extrémités. Dans cet état, on fixe les deux bouts de la corde, puis on la met en mouvement d’une manière quelconque. Il en résultera pour le point $\mathrm {M} ,$ un nouveau déplacement qui sera une fonction inconnue de $x$ et $t,$ et que je représenterai par $\theta \,;$ les valeurs