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$\cos .^{3}\theta$ par $\sin .\theta -\sin .\theta \cos .^{2}\theta$ et $\cos .\theta -\cos .\theta \sin .^{2}\theta \,:$ on aura donc sept équations ; mais maintenant il nous suffira de celles que fournissent les coefficients de $\sin .\theta ,\cos .\theta ,\sin .\theta \cos .^{2}\theta ,\cos .\theta \sin .^{2}\theta ,$ et qui sont

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {P} _{1}+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}=0,\qquad \mathrm {P} _{2}+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}=0,\\&2{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}=0,\quad 2{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}=0.\end{aligned}}\right\}$(9)

Les deux dernières ayant été divisées par $\varepsilon ^{2},$ pour qu’elles fussent aussi exactes que les premières, il faudrait qu’on eût conservé les termes multipliés par $\varepsilon ^{4}\,;$ mais pour l’usage que nous allons en faire, l’approximation à laquelle nous nous sommes arrêtés est suffisante. Dans ces quatre équations, on fera $\eta =0,$ $\zeta =0,$ après les différentiations.

Au moyen des deux premières équations (9), les précédentes deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta ^{2}}}\right)&={\frac {\varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{dxd\zeta ^{2}}}-3{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{dxd\eta ^{2}}}\right),\\\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}\right)&={\frac {\varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{dxd\eta ^{2}}}-3{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{dxd\zeta ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Mais en différentiant successivement la première équation (2) par rapport à $\eta$ et $\zeta ,$ et faisant ensuite $\eta =0,$ $\zeta =0,$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}\rho -{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{3}}{dxd\eta }}={\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(3{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}\right),\\&{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\rho -{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{3}}{dxd\zeta }}={\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}={\frac {1}{2}}\left(3{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}\right),\end{aligned}}$

en ayant égard aux deux dernières équations (9) ; si donc on différentie ces formules par rapport à $x,$ qu’on les multiplie par ${\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2},$ et qu’on les ajoute aux précédentes, on aura