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en faisant, pour abréger,

$\mathrm {R} =r^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega .$

D’après l’équation (14), on aura identiquement

$m^{2}\mathrm {R} +{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}-{\frac {3\mathrm {R} }{4r^{2}}}=0\,;\qquad$(15)

et en vertu des équations (10), on aura

$\varphi '=0,\qquad \mathrm {R} =0,\qquad {\frac {d\varphi '}{dr}}-{\frac {\varphi '}{4r}}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}-{\frac {\mathrm {R} }{4r}}=0,\qquad$(16)

pour la valeur particulière $r=l\,;$ les deux premières de ces quatre équations ayant lieu dans le cas du contour fixe, et les deux dernières dans l’autre cas.

Cela posé, je multiplie l’équation (14) par $\mathrm {R} dr,$ puis j’intègre depuis $r=0$ jusqu’à $r=l\,;$ il vient

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\mathrm {R} \varphi 'dr}{dt^{2}}}=a^{2}\left(\int _{0}^{l}\mathrm {R} {\frac {d^{2}\varphi '}{dr^{2}}}dr-{\frac {3}{4}}\int _{0}^{l}{\frac {\mathrm {R} \varphi '}{r^{2}}}dr\right).$

En observant que $\varphi '=0$ et $\mathrm {R} =0$ à la limite $r=0,$ et intégrant par partie, on aura

$\int _{0}^{l}\mathrm {R} {\frac {d^{2}\varphi '}{dr^{2}}}dr=\mathrm {R} {\frac {d\varphi '}{dr}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}\varphi '+\int _{0}^{l}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}\varphi 'dr,$

les termes compris hors du signe $\int$ répondant à l’autre limite $r=l.$ Ils se détruisent en vertu des équations (16); et si l’on met pour ${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}$ sa valeur tirée de l’équation (15), il en résultera