Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/760

$\int _{0}^{l}\mathrm {R} {\frac {d^{2}\varphi '}{dr^{2}}}dr={\frac {3}{4}}\int _{0}^{l}{\frac {\mathrm {R} \varphi '}{r^{2}}}dr-m^{2}\int _{0}^{l}\mathrm {R} \varphi 'dr\,;$

au moyen de quoi l’équation précédente deviendra

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\mathrm {R} \varphi 'dr}{dt^{2}}}+m^{2}a^{2}\int _{0}^{l}\mathrm {R} \varphi 'dr=0.$

En intégrant cette équation différentielle seconde, désignant par $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ les deux constantes arbitraires, remettant $r^{\frac {1}{2}}\varphi$ au lieu de $\varphi ',$ et, à la place de $\mathrm {R} ,$ ce que cette lettre représente, nous aurons

$\int _{0}^{l}\left(\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega \right)r^{2}\varphi dr=\mathrm {C} \cos .m\,at+\mathrm {C} '\sin .m\,at.$(17)

Pour déterminer $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} ',$ je compte le temps $t$ de l’origine du mouvement, et je suppose qu’on ait

$\varphi =fr,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}=\operatorname {F} r,$

quand $t=0,$ en sorte que $fr$ et $\operatorname {F} r$ soient des fonctions données arbitrairement depuis $r=0$ jusqu’à $r=l,$ pourvu cependant qu’elles soient nulles pour $r=0$ et qu’elles satisfassent aux conditions relatives à l’autre limite $r=l.$ En faisant $t=0$ dans l’équation (17) et dans sa différentielle relative à $t,$ on aura

${\begin{aligned}&\int _{0}^{l}\left(\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega \right)r^{2}fr\,dr=\mathrm {C} \\&{\frac {1}{ma}}\int _{0}^{l}\left(\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega \right)r^{2}\operatorname {F} r\,dr=\mathrm {C} '.\end{aligned}}$