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Nous conserverons, pour abréger, les lettres $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ à la place de leurs valeurs maintenant connues.

Je substitue la formule (11) à la place de $\varphi$ dans l’équation (17), puis j’égale les coefficients des termes semblables dans les deux membres ; il vient d’abord

$\int _{0}^{l}\left(\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega .\int _{0}^{\pi }\cos .(m'r\cos .\omega )\sin .\omega \,d\omega \right)r^{3}dr=0,(18)$

tant que $m$ et $m'$ sont deux racines des équations (12) ou (13) dont les carrés sont différents ; et dans le cas particulier de $m'=m,$ on a

${\begin{aligned}&\mathrm {A} \int _{0}^{l}\left(\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega \right)^{2}r^{3}fr\,dr=\mathrm {C} ,\\&\mathrm {B} \int _{0}^{l}\left(\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega \right)^{2}r^{3}\operatorname {F} r\,dr=\mathrm {C} '\,;\end{aligned}}$

ce qui détermine les valeurs cherchées de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ d’après celles de $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '.$ La formule (11) ne contenant plus maintenant que des quantités données, fera connaître l’état de la plaque à chaque instant, et renferme conséquemment la solution complète du problème qu’il s’agissait de résoudre. En faisant $t=0$ dans cette formule et dans sa différentielle relative à $t,$ on en déduira des expressions de $fr$ et $\operatorname {F} r$ en séries qui représenteront ces fonctions arbitraires dans l’intervalle compris depuis $r=0$ jusqu’à $r=l.$

(58) Au moyen de l’équation (18), on prouvera que les équations (12) et (13) n’ont pas de racines imaginaires. Tous les termes de la formule (11) seront donc périodiques ; mais, à cause que les racines de ces équations sont incommensurables, la membrane ou la plaque que nous considérons n’exé-