sances de
ou de
et qu’on y fasse
on aura
![{\displaystyle 1-x'+{\frac {x'^{2}}{(1.2)^{2}}}-{\frac {x'^{3}}{(1.2.3)^{2}}}+{\frac {x'^{4}}{(1.2.3.4)^{2}}}-{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d3347fd2da048b8344aa49b2fd50228c0bd225)
![{\displaystyle -{\frac {3}{4}}\left(1-{\frac {x'}{2}}+{\frac {x'^{2}}{3(1.2)^{2}}}-{\frac {x'^{3}}{4(1.2.3)^{2}}}+{\frac {x'^{4}}{5(1.2.3.4)^{2}}}-{\text{etc}}.\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5626219792e2278f537780fd441b3c0c340d2cb6)
On trouve pour les valeurs approchées de ses deux plus petites racines :
![{\displaystyle x'=0{,}46,\qquad x'=7{,}04.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ea2165ad318126e98ea4e7e2580eda8048c5a5)
Il en résulte
![{\displaystyle \lambda '=1{,}31,\qquad \lambda '=5{,}31,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4a9f7e9ddb318988147c029b968ec9a52d12c9)
pour les valeurs correspondantes de
dont le rapport est celui des deux sons les plus graves dans le cas du contour mobile. En comparant la première valeur de
à la première valeur de
on a aussi le rapport du son le plus grave dans ce dernier cas à celui qui a lieu dans le cas du contour fixe.
Pour déterminer les rayons des lignes nodales qui répondent à chaque son ou à chaque valeur de
on égalera à zéro le coefficient du terme correspondant de la formule (11) ; ce qui donne
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\cos .(\mu \cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2f09651756b82f7bba81baf808f0e4b2d69c53)
en faisant
Il en résultera
![{\displaystyle r={\frac {\mu l}{\lambda }},\quad {\text{ou}}\quad r={\frac {\mu l}{\lambda '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6c8792d37726a05ea4b7ed09aed1062dc6225c)
selon qu’il s’agira du contour fixe ou du contour mobile, et, dans les deux cas, il faudra que la valeur de
ne surpasse pas le rayon
de la membrane ou de la plaque. En comparant