![{\displaystyle c=0,\qquad c'=0,\qquad c''=\pm 1,\qquad \zeta =\pm \varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5ff1c0d9e6b1d01fe568b8e861da0dd2fd77f1)
à cause que les angles dont
sont les cosinus, répondent à l’état naturel de la plaque, et que dans cet état, les deux faces sont parallèles au plan des
dont elles sont éloignées de la demi-épaisseur
Pour simplifier la question, nous supposerons qu’aucune force particulière n’est appliquée aux faces de la plaque, ce qui rendra nuls les termes
des équations (4). Il en résultera que pour la double valeur
les trois forces
seront égales à zéro ; en développant ces quantités suivant les puissances de
et s’arrêtant à la troisième inclusivement, on en conclura ces six équations :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\varepsilon ^{2}&=0,\\\mathrm {Q} _{1}&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\varepsilon ^{2}=0,\quad \mathrm {R} _{1}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {R} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\varepsilon ^{2}=0,\\{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{3}}}\varepsilon ^{2}&=0,\\{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}&+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{3}}}\varepsilon ^{2}=0,\quad {\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\mathrm {R} _{1}}{d\zeta ^{3}}}\varepsilon ^{2}=0,\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99dc8136f9c045527cf0499cb6a9f61039767d0)
(4)
dans lesquelles on fera
après les différentiations effectuées.
Nous formerons plus loin les équations relatives aux bords de la plaque. La question qui doit maintenant nous occuper consiste à éliminer entre les équations (3) et (4), les différences partielles de
du second ordre et des ordres supérieurs par rapport à
qui répondent à
et à en déduire les valeurs des six inconnues que renferment les formules (2).
(67) Pour y parvenir, désignons par
les forces appliquées au point
de la section moyenne, ou ce que deviennent
quand
Donnons à
cette valeur