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$c=0,\qquad c'=0,\qquad c''=\pm 1,\qquad \zeta =\pm \varepsilon ,$

à cause que les angles dont $c,c',c'',$ sont les cosinus, répondent à l’état naturel de la plaque, et que dans cet état, les deux faces sont parallèles au plan des $x,y,$ dont elles sont éloignées de la demi-épaisseur $\varepsilon .$ Pour simplifier la question, nous supposerons qu’aucune force particulière n’est appliquée aux faces de la plaque, ce qui rendra nuls les termes $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}} ,$ des équations (4). Il en résultera que pour la double valeur $\zeta =\pm \varepsilon ,$ les trois forces $\mathrm {P_{1},Q_{1},R_{1}} ,$ seront égales à zéro ; en développant ces quantités suivant les puissances de $\zeta ,$ et s’arrêtant à la troisième inclusivement, on en conclura ces six équations :

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\varepsilon ^{2}&=0,\\\mathrm {Q} _{1}&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\varepsilon ^{2}=0,\quad \mathrm {R} _{1}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {R} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\varepsilon ^{2}=0,\\{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{3}}}\varepsilon ^{2}&=0,\\{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}&+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{3}}}\varepsilon ^{2}=0,\quad {\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\mathrm {R} _{1}}{d\zeta ^{3}}}\varepsilon ^{2}=0,\\\end{aligned}}\right\}$(4)

dans lesquelles on fera $\zeta =0$ après les différentiations effectuées.

Nous formerons plus loin les équations relatives aux bords de la plaque. La question qui doit maintenant nous occuper consiste à éliminer entre les équations (3) et (4), les différences partielles de $u',v',w',$ du second ordre et des ordres supérieurs par rapport à $\zeta ,$ qui répondent à $\zeta =0,$ et à en déduire les valeurs des six inconnues que renferment les formules (2).

(67) Pour y parvenir, désignons par $\mathrm {X,Y,Z} ,$ les forces appliquées au point $\mathrm {M}$ de la section moyenne, ou ce que deviennent $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ quand $\zeta =0.$ Donnons à $\zeta$ cette valeur