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dans les deux premières équations (3) ; substituons-y ensuite pour ${\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}$ et ${\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }},$ leurs valeurs tirées des équations (4) ; puis négligeons dans leurs seconds membres, les termes qui ont $\varepsilon ^{2}$ pour facteur, et qui sont très-petits par rapport aux termes indépendants de $\varepsilon \,:$ nous aurons simplement

$\mathrm {X} _{\rho }={\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{dx}},\qquad \mathrm {Y} _{\rho }={\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}}.\qquad$(5)

Faisons de même $\zeta =0$ dans la troisième équation (3) ; mettons-y pour les différences partielles de $\mathrm {P_{1},Q_{1},R_{1}} ,$ leurs valeurs tirées des équations (4) et de leurs différentielles relatives à $x$ et $y\,;$ mais observons que, par suite de cette substitution, tous les termes de son second membre se trouvant mutipliés par ^2, on ne pourra pas négliger les termes de cet ordre que nous avons conservés pour cette raison dans les équations (4): on aura de cette manière

$\mathrm {Z} _{\rho }=-{\frac {\varepsilon ^{2}}{6}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {R} _{1}}{d\zeta ^{3}}}+3{\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}dy}}+3{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}dx}}\right).$

En différentiant deux fois la dernière équation (3) par rapport à $\zeta ,$ on a

${\frac {d^{2}.\mathrm {Z} '_{\rho }}{d\zeta ^{2}}}={\frac {d^{3}\mathrm {R} _{1}}{d\zeta ^{3}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}dx}}.$

Je fais $\zeta =0$ dans cette formule, puis je la multiple par ${\frac {1}{6}}\varepsilon ^{2},$ et je l’ajoute à la précédente ; il vient

$\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}}{6}}{\frac {d^{2}.\mathrm {Z} '_{\rho }}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {\varepsilon ^{2}}{3}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}dx}}\right).$

Les deux premières équations (3) donnent aussi