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${\begin{aligned}{\frac {d^{2}.\mathrm {X} '_{\rho }}{d\zeta dy}}&={\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}dx}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta dxdy}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{3}}{d\zeta dx^{2}}},\\{\frac {d^{2}.\mathrm {Y} '_{\rho }}{d\zeta dy}}&={\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta ^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta dy^{2}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta dxdy}}\,;\end{aligned}}$

formules dans lesquelles je fais $\zeta =0,$ et que j’ajoute ensuite à l’équation précédente après les avoir multipliées par ${\frac {\varepsilon ^{2}}{3}},$ ce qui donne

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}}{6}}&\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '_{\rho }}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '_{\rho }}{d\zeta dy^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '_{\rho }}{d\zeta dx^{2}}}\right)=\\&\qquad \qquad {\frac {\varepsilon ^{2}}{3}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {P} _{3}}{d\zeta dx^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta dxdy}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta dy^{2}}}\right).\end{aligned}}\right\}$(6)

Il ne reste plus à éliminer dans les équations (5) et (6), que les quantités $\mathrm {P_{2},P_{3},Q_{2}} ,$ et leurs différences premières par rapport à $\zeta \,;$ on ne peut pas les simplifier davantage, sans y substituer les valeurs de ces six quantités qui répondent à $\zeta =0\,;$ mais en calculant ces valeurs, on pourra négliger les termes dépendants de 8^2, ce qui permettra de réduire les équations (4) à celles-ci :

$\mathrm {P} _{1}=0,\quad \mathrm {Q} _{1}=0,\quad \mathrm {R} _{1}=0,\quad {\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}=0\quad {\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}=0\quad {\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}=0.$

(68) Nous supposerons la plaque homogène ; la densité $\rho$ et le coefficient $k$ seront constants ; et en vertu des équations (1), les précédentes deviendront :

${\begin{aligned}&{\frac {du'}{d\zeta }}+{\frac {dz}{dx}}=0,\qquad {\frac {dv'}{d\zeta }}+{\frac {dz}{dy}}=0,\\&{\frac {du'}{dx}}+{\frac {dv'}{dy}}+3{\frac {dw'}{d\zeta }}=0,\\&{\frac {d^{2}u'}{d\zeta ^{2}}}+{\frac {d^{2}w'}{d\zeta dx}}=0,\qquad {\frac {d^{2}v'}{d\zeta ^{2}}}+{\frac {d^{2}w'}{d\zeta dy}}=0,\\&{\frac {d^{2}u'}{d\zeta dx}}+{\frac {d^{2}v'}{d\zeta dy}}+3{\frac {d^{2}w'}{d\zeta ^{2}}}=0,\\\end{aligned}}$