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On a remplacé $u',v',w',$ par $u,v,z,$ dans les termes non différentiés par rapport à $\zeta ,$ et dans les autres termes, il faudra faire $\zeta =0$ après les différentiations relatives à cette variable. Ces six équations donnent

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {du'}{d\zeta }}=-{\frac {dz}{dx}},\quad {\frac {dv'}{d\zeta }}=-{\frac {dz}{dy}},\quad {\frac {dw'}{d\zeta }}=-{\frac {1}{3}}\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}\right),\\&{\frac {d^{2}u'}{d\zeta ^{2}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dxdy}}\right),\quad {\frac {d^{2}v'}{d\zeta ^{2}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {d^{2}u}{dxdy}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\right),\\&{\frac {d^{2}w'}{d\zeta ^{2}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right).\end{aligned}}\right\}$(7)

Les valeurs correspondantes de $\mathrm {P_{2},P_{3},Q_{2}} ,$ et de leurs différences partielles relatives à $z,$ seront

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {P} _{2}=-k\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right),\\&\mathrm {P} _{3}=-{\frac {2k}{3}}\left(4{\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}\right),\qquad \mathrm {Q} _{2}=-{\frac {2k}{3}}\left(4{\frac {dv}{dy}}+{\frac {du}{dx}}\right),\\&{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\zeta }}=2k{\frac {d^{2}z}{dxdy}},\\&{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\zeta }}={\frac {2k}{3}}\left(4{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right),\quad {\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta }}={\frac {2k}{3}}\left(4{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\right).\end{aligned}}\right\}$(8)

(69) D’après ces formules, on voit que l’inconnue $z$ entrera seule dans l’équation (6), et que les équations (5) ne contiendront que les inconnues $u$ et $v.$ Ainsi les déplacements des points de la section moyenne suivant sa direction, et la forme qu’elle prendra, seront indépendants et se détermineront séparément. On voit de plus que les équations (5) seront les mêmes que dans le cas d’une membrane flexible, en sorte qu’à l’égard des valeurs de $u$ et $v,$ nous n’avons rien à ajouter à ce qui a été dit dans le paragraphe précédent. Mais il résulte de la troisième équation (7) que ces déplace-