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Ces valeurs de $u'$ et $v'$ montrent que les points de la plaque qui se trouvaient primitivement sur une même perpendiculaire à la section moyenne, feront encore partie après le changement de forme, d’une même normale à cette section devenue courbe. En chaque point, il y aura, d’un côté de cette même section, dilatation parallèle à sa direction, et condensation du côté opposé. C’est cette différence d’état des faces de la plaque, qui produit son élasticité par flexion, ou sa tendance à revenir à sa forme naturelle : suivant les directions des courbures principales de la section moyenne, les dilatations et condensations dont il est question, seront proportionnelles aux distances à cette surface, et en raison inverse du rayon de courbure correspondant. Soit qu’il y ait équilibre ou mouvement, l’état de la plaque sera connu dans toute son épaisseur lorsqu’on aura déterminé la forme de la section moyenne, ou la valeur de $z$ en fonction de $x$ et $y.$

(70) Au moyen des formules (8), l’équation (6) devient

$\mathrm {Z} +{\frac {\varepsilon ^{2}}{6}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta dy}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{d\zeta dx}}\right)={\frac {8k\varepsilon ^{2}}{9\rho }}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right).(9)$

Dans le cas de l’équilibre, ce sera l’équation aux différences partielles de la surface demandée ; les forces $\mathrm {Z,X',Y',Z'} ,$ étant données alors en fonctions de $x,y$ et $\zeta .$ Dans le cas du mouvement, et en supposant qu’aucune force donnée n’agit sur les points de la plaque, il faudra faire

$\mathrm {Z} =-{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {X} '=-{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Y} '=-{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Z} '=-{\frac {d^{2}w'}{dt^{2}}}.$

Si l’on fait $\zeta =0$ après les différentiations, et qu’on ait égard aux équations (7), on aura