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${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}={\frac {d^{3}z}{dxdt^{2}}},\qquad {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}={\frac {d^{3}z}{dydt^{2}}},\\&{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {1}{3}}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{2}dt^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{2}dt^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}$

par conséquent le premier membre de l’équation (9) deviendra

$-{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {5\varepsilon ^{2}}{18}}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{2}dt^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{2}dt^{2}}}\right)\,;$

or, la partie qui a $\varepsilon ^{2}$ pour facteur est évidemment très-petite et peut être négligée par rapport au premier terme ; cette équation sera donc simplement

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+a^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0,\qquad$(10)

en faisant, pour abréger,

$a^{2}={\frac {8k\varepsilon ^{2}}{9\rho }}.$

On joindra aux équations (9) et (10) celles qui sont relatives au contour de la plaque, et qui serviront, avec son état initial dans le cas du mouvement, à déterminer les quantités arbitraires que contiendront leurs intégrales. Ce sont ces équations particulières qui nous restent à former.

(71) Par le point $\mathrm {M} ',$ faisons dans la plaque une section perpendiculaire à ses faces. Soit $\theta$ l’angle compris entre la normale à cette section et l’axe des $x.$ Pour appliquer au point $\mathrm {M} '$ les équations (2) du n^o 7, il y faudra faire

$c=\cos .\theta ,\qquad c'=\sin .\theta ,\qquad c''=0\,;$

d’où il résultera