![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}={\frac {d^{3}z}{dxdt^{2}}},\qquad {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}={\frac {d^{3}z}{dydt^{2}}},\\&{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {1}{3}}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{2}dt^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{2}dt^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201f317dfddcbb11f4b64469f199865e6fa2cb7c)
par conséquent le premier membre de l’équation (9) deviendra
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {5\varepsilon ^{2}}{18}}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{2}dt^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{2}dt^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f4c65401076e53ca8ee11b593891c7397c407e)
or, la partie qui a
pour facteur est évidemment très-petite et peut être négligée par rapport au premier terme ; cette équation sera donc simplement
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+a^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970bd5cdc77012be25386cf8e00f76d1e719c51b)
(10)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle a^{2}={\frac {8k\varepsilon ^{2}}{9\rho }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6796ed44fb725dee3871da6d1d6bedd8881b2e8a)
On joindra aux équations (9) et (10) celles qui sont relatives au contour de la plaque, et qui serviront, avec son état initial dans le cas du mouvement, à déterminer les quantités arbitraires que contiendront leurs intégrales. Ce sont ces équations particulières qui nous restent à former.
(71) Par le point
faisons dans la plaque une section perpendiculaire à ses faces. Soit
l’angle compris entre la normale à cette section et l’axe des
Pour appliquer au point
les équations (2) du no 7, il y faudra faire
![{\displaystyle c=\cos .\theta ,\qquad c'=\sin .\theta ,\qquad c''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f4778778b26353bdc2ca69f97702eb4beb441e)
d’où il résultera