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${\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)dxdy,$

on pourra ensuite effectuer immédiatement une intégration dans chaque intégrale double du second membre ; d’où il résultera, comme précédemment, une intégrale simple, étendue au contour entier de la section moyenne, en sorte que l’on aura

$\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy+{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)dxdy$

$={\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\int \left[\left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)\cos .\theta \right.$

$+\left.\left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dy^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dydx^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {Y} '}{d\zeta }}\right)\sin .\theta \right]xds.$

En vertu de la première équation (13), celle-ci est la même chose que

$\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy+\int x\mathrm {F} ds$

$+{\frac {2\varepsilon ^{3}}{3}}\iint \left({\frac {8k}{3}}\left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)-\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right)dxdy=0.$

En effectuant l’intégration relative à $x,$ on a

$\iint \left({\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}z}{dxdy^{2}}}\right)dxdy=\int \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right)\cos .\theta ds,$

l’intégrale simple s’étendant, comme plus haut, au contour entier de la section ; mais la seconde équation (13) donne

${\frac {16k\varepsilon ^{3}}{9}}\int \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right)\cos .\theta ds=$

$\int \mathrm {H} ds-{\frac {4k\varepsilon ^{3}}{3}}\int \left({\frac {d^{2}z}{dxdy}}\sin .\theta -{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\cos .\theta \right)ds\,;$