Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/800

d’ailleurs au degré d’approximation, où nous nous sommes arrêtés, on a aussi

$\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {X} '\rho \zeta d\zeta ={\frac {2\varepsilon ^{3}\rho }{3}}.{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\,:$

au moyen de ces différentes valeurs, l’équation que nous venons de former, devient

$\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho d\zeta \right)xdxdy-\iint \left(\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }\mathrm {X} '\rho \zeta d\zeta \right)dxdy+\int (x\mathrm {F+H} )ds$

$={\frac {4k\varepsilon ^{3}}{3}}\int \left({\frac {d^{2}z}{dxdy}}\sin .\theta -{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\cos .\theta \right)ds\,;$

et elle coïncide avec la deuxième équation (15), à cause que l’intégrale contenue dans son second membre et étendue au contour entier, c’est-à-dire, à toute la circonférence d’une courbe formée, sera égale à zéro.

En effet, cette intégrale est relative à la variable $s$ qui croît dans toute son étendue ; les trois quantités $\theta ,x,y,$ doivent y être considérées comme des fonctions de $s,$ résultantes de la nature de la courbe, et telles que l’on a

${\frac {dx}{ds}}=\pm \sin .\theta ,\qquad {\frac {dy}{ds}}=\mp \cos .\theta \,;$

les signes supérieurs ayant lieu ensemble, ainsi que les signes inférieurs, et le même système de signes devant subsister dans toute l’étendue de l’intégration. Si donc, pour fixer les idées, nous prenons les signes supérieurs, et que nous fassions ${\frac {dz}{dy}}=q,$ nous aurons

$\left({\frac {d^{2}z}{dxdy}}\sin .\theta -{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\cos .\theta \right)ds=-{\frac {dq}{dx}}dx-{\frac {dq}{dy}}dy=-dq.$