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la force $\mathrm {R}$ à la face même de la plaque, on suppose tous ses points sollicités par des forces constantes dans le sens de l’épaisseur, et représentées en intensité par ${\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}.$ Nous ferons donc, dans l’équation (9) du n^o 70,

$\mathrm {Z} '=\mathrm {Z} =g+{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }},\qquad \mathrm {Y} '=-{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}{\frac {dz}{dy}},\qquad \mathrm {X} '=-{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}{\frac {dz}{dx}},$

en désignant par $g$ la gravité, et l’axe des $z$ positives étant dirigé dans le sens de cette force. D’après cela, cette équation deviendra

$g+{\frac {\mathrm {R} }{2\rho \varepsilon }}={\frac {8k\varepsilon ^{2}}{9\rho }}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}\right),$

où l’on a fait, pour simplifier,

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=\varphi .$

La même équation aurait lieu, si la plaque était tirée par des poids suspendus à sa face inférieure, et représentés à la distance $r$ de son centre, par $\mathrm {R}$ pour chaque unité de surface.

Tout étant semblable autour du centre de la plaque, l’ordonnée $z$ d’un point quelconque de la section moyenne sera une fonction de $r\,;$ en exprimant d’après cela les différences partielles de $z$ relatives à $x$ et $y,$ on trouve

${\begin{aligned}&{\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dr}}{\frac {x}{r}},\qquad {\frac {dz}{dy}}={\frac {dz}{dr}}{\frac {y}{r}},\\&{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {dz}{dr}}{\frac {y^{2}}{r^{3}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}+{\frac {dz}{dr}}{\frac {x^{2}}{r^{3}}},\\&{\frac {d^{2}z}{dxdy}}={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}{\frac {xy}{r^{2}}}-{\frac {dz}{dr}}{\frac {xy}{r^{3}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on conclut