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$\varphi ={\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz}{dr}}.$

La quantité $\varphi$ sera donc aussi une fonction de $r\,;$ par conséquent, on aura de même

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}.$

Appelons $l$ le rayon de la plaque et $p$ son poids, nous aurons

$p=2\pi l^{2}\varepsilon \rho g\,;$

et si nous faisons, pour abréger,

${\frac {9}{16k\varepsilon ^{3}}}=k',$

l’équation d’équilibre pourra s’écrire aînsi :

$k'\left({\frac {p}{\pi l^{2}}}+\mathrm {R} \right)={\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}.\qquad$(1)

Dans les équations relatives aux bords de la plaque, on fera

$\cos .\theta ={\frac {x}{r}},\qquad \sin .\theta ={\frac {y}{r}},$

à cause que la normale au contour de la section moyenne n’est autre chose que le prolongement de son rayon. Si l’on suppose qu’aucune force particulière n’agît sur les bords, on supprimera les termes $\mathrm {F,H,H'} .$ Les deux dernières équations (13) du n^o 73 se réduiront à une seule ; et dans le cas du contour entièrement libre, on aura ces deux équations :

${\frac {d\varphi }{dr}}=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{4r}}{\frac {dz}{dr}}=0,\qquad$(2)