Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/804

qui ne subsisteront que pour $r=l.$ Si les bords de la plaque sont appuyés et ne peuvent ni monter ni descendre verticalement, on aura

$z=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{4r}}{\frac {dz}{dr}}=0,\qquad$(3)

aussi pour $r=l.$ Enfin si les bords sont encastrés, l’hypothèse de $z$ fonction de $r$ rendra identique la troisième équation (14), et nous aurons

$z=0,\qquad {\frac {dz}{dr}}=0,\qquad$(4)

pour la même valeur de $r=l.$ Dans ces deux derniers cas, la pression verticale, en chaque point du contour, sera la force $\mathrm {V}$ du n^o 72 ; elle aura pour valeur :

$\mathrm {V} ={\frac {16k\varepsilon ^{3}}{9}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {x}{y}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {y}{r}}\right)={\frac {1}{k'}}{\frac {d\varphi }{dr}},$

dans laquelle on fera $r=l\,;$ et si l’on appelle $\mathrm {P}$ la pression totale sur le contour entier dont la longueur est $2\pi l,$ on aura

$\mathrm {P} ={\frac {2\pi l}{k'}}{\frac {d\varphi }{dr}}.$

(76) En désignant par $c$ et $c'$ les deux constantes arbitraires, l’intégrale complète de l’équation (1) est

$\varphi =c+c'\log .r+k'\left[{\frac {pr^{2}}{4\pi l^{2}}}+\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right){\frac {dr}{r}}\right].$

L’intégration par partie donne

$\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right){\frac {dr}{r}}=\log .r\int \mathrm {R} rdr-\int \mathrm {R} r\log .rdr.$