Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/805

On pourra supposer que ces intégrales simples s’évanouissent avec $r,$ et remplacer , si l’on veut $\log .r$ par $\log .{\frac {r}{l}}.$ Mais la quantité $\varphi$ qui représente ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}$ ne devant devenir très-grande, ni, à plus forte raison, infinie en aucun point de la plaque, il faudra en faire disparaître le terme $c'\log .r\,;$ par conséquent on aura $c'=0,$ et la formule précédente deviendra

$\varphi =c+k'\left({\frac {pr^{2}}{4\pi l^{2}}}+\log .{\frac {r}{l}}\int \mathrm {R} rdr-\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right),$

les intégrales étant nulles pour $r=0.$ On en déduit

${\frac {d\varphi }{dr}}=k'\left({\frac {pr}{2\pi l^{2}}}+{\frac {1}{r}}\int \mathrm {R} rdr\right)\,;$

si donc on fait

$2\pi \int _{0}^{l}\mathrm {R} rdr=\varpi ,$

cette quantité $\varpi$ sera la pression totale, exercée sur la plaque, et la première équation (2) se réduira à $p+\varpi =0,$ ce qui doit avoir lieu, en effet, pour l’équilibre de la plaque entièrement libre. Dans le cas de la plaque encastrée ou appuyée, la valeur précédente de $\mathrm {P}$ sera $\mathrm {P} =p+\varpi \,;$ résultat qui est encore évident à priori.

Je remets pour $\varphi$ la quantité ${\frac {d^{2}z}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dz}{dr}},$ et j’intègre de nouveau ; il vient

${\frac {dz}{dr}}={\frac {b}{r}}+{\frac {cr}{2}}+k'\left[{\frac {pr^{3}}{16\pi l^{2}}}+{\frac {1}{r}}\int \left(\int \mathrm {R} rdr\right)r\log .{\frac {r}{l}}dr\right.$

$\left.-{\frac {1}{r}}\int \left(\int \mathrm {R} r\log .{\frac {r}{l}}dr\right)rdr\right],$